(illustration des ensembles équipotents)

Toto est un chauffeur de car, mais il conduit un type de car un peu particulier : il transporte une infinité de totos… au pays de l'infini et les dépose devant un hôtel comportant une infinité de chambres… Il faut loger l'infinité de totos dans l'hôtel. Malheureusement, le pays de l'infini étant une destination très prisée, l'hôtel est archi-bondé, bref, il affiche « complet ». Notre Toto automédon (i.e.le chauffeur de car) dit : « nous pouvons loger tout le monde ! ». Tous ? « Oui ». Mais comment donc (et avec la condition d'une seule personne par chambre) ? Eh bien, numérotons les Totos : \(0,1,2,3,\ldots\;\) ainsi que les chambres \(0,1,2,3,\ldots\,\) On commence par évacuer les anciens occupants de l'hôtel c'était des Totobis : \(0,1,2,3,\ldots\,\) Démarrons alors le processus d'affectation : on loge Toto 0 dans la chambre 0, Totobis 0 dans la chambre 1, Toto 1 dans la chambre 2, Totobis 1 dans la chambre 3, Toto 2 dans la chambre 4, Totobis 2 dans la chambre 5, ad lib.
Qu'avons-nous fait ? Nous avons construit une bijection de \(2\mathbb{N}\) vers \(\mathbb{N}\), ou encore, en renumérotant les Totobis \(0,1,2,3,\ldots\,\) selon \(-1,-2,-3,-4,\ldots\,\) une bijection de \(\mathbb{Z}\) vers \(\mathbb{N}\) : si \(n\,\) est positif ou nul (i.e.un Toto), on lui affecte la chambre paire \(2n\,\) et si \(n\,\) est négatif (i.e.un Totobis), on lui attribue la chambre impaire \(2n+1\,\). Moralité : dans \(\mathbb{Z}\) il y a autant d'éléments que dans \(\mathbb{N}\)… (et pas deux fois plus, à moins que deux fois=une fois…)

Mais l'histoire ne s'arrête pas là : notre Toto automédon a d'autres potes automédons et ils rappliquent tous avec une infinité de cars contenant une infinité de Totos ! Comment loger tout le monde ‽ Quitte à déloger tout l'hôtel dans un nouveau car, supposons que l'hôtel soit vide. On numérote les cars \(0,1,2,3,\ldots\) et les Totos sont repérés par deux indices \((i,j)\,\), \(i\,\) étant le numéro du car et \(j\,\) la place qu'il occupe dans ce car. On dispose tous ces couples dans un carré infini et on l'on procède à un balayage diagonal du carré et le numéro de position du Toto sur une diagonale donnera le numéro de la chambre à laquelle il aura droit.
On construit ainsi une bijection de \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) sur \(\mathbb{N}\) : \((i,j)\mapsto i+(i+j)(i+j+1)/2\)…

Bonus track : une autre bijection \((i,j)\mapsto (2i+1)2^j\)…

Ah oui, j'allais oublier de dire : en fait, Toto, son vrai nom c'est Hilbert…